Шляпник (russhatter) wrote,
Шляпник
russhatter

Categories:

Многочлены

Я кажется, успел хорошо заинтриговать кое-кого этой задачей:

Дана непрерывная функция F(x,y). Известно, что F(x0, y) и F(x, y0) - многочлены при любых значениях x0 и y0. Доказать, что функция F(x,y) является многочленом от двух аргументов.



Эту задачу я решал на семинаре замечательнейшего Евгения Михайловича Ландиса, на своем первом курсе. И был горд, как вымытый слон, когда ее решил. Мое решение оказалось очень оригинальным: никто больше (самодовольный смешок) ее не решил, а вообще-то от нас хотели получить какое-то другое решение, обобщающееся на случай, когда вместо многочленов стоят аналитические функции. Не помню я ничего об этой более мощной задаче, интересно, кто-нибудь ее умеет решать, или богатыри прошлого унесли с собой сокровенное знание?

Ну да ладно, о своем решении этой задачи. У меня тогда было по-видимому две идеи. Одну я точно восстановил, а другую - в упор не помню, была ли она или какая другая.

Ну да ладно. Идеи:

1. К исходной функции можно применять преобразование: вместо F(x,y) рассмотреть

(F(x,y) - F(x0, y))  /  ( x - x0 )


Полученная функция немножко хуже оригинала: лучше ничего не говорить про нее на прямой x=x0. Ну да ладно, у нас этих иксов навалом. Но во всем остальном - функция такая же, и даже лучше: для любого фиксированного y0 она понижает степень многочлена на единицу, а линейную функцию просто обращает в ноль.

2. Если для каждого y0 определена целочисленная степень многочлена - значит для какой-то степени N бесконечно множество тех y0, при которых степень многочлена F(x, y0) меньше N. Доказательство от противного: попытка покрыть континуум R счетным набором конечных множеств.

Собственно, все. Применяя эти идеи, можно доказать искомое утверждение, а также то, что если заменить полиномиальность по y на аналитичность - изящно получается аналитическая зависимость коэффициентов многочлена от аналитического параметра. (Рассуждения о симметрических функциях, возможно, то же самое и делают, но требуют серьезного мужества.)

Ну, и напоследок изголюсь, и запишу рассуждения по-французски, так чтобы все было идеально корректно, но непонятно.

1. Определение.
Функция F:R2R называется функцией класса PP, если выполняются условия:
1) ∀ x0R: F(x, y0)∈R[x]
2) ∃ {xi| i∈N}: ((xi=xj) => (i=j), и ∀i∈N: F(xi, y) ∈R[y])

Функция F∈PP называется функцией класса PPN, N∈N, если существует бесконечное множество Y(F), такое что ∀y0∈Y: F(x, y0) - многочлен степени не выше N.

2. Лемма 1. PP = N∈N PPN.

3. Лемма 2. Любая функция F∈PPN представима в виде: F(x,y) = G(x,y) (x-x0) + P(x), для подходяших x0R, P(x)∈R[x], G∈PPN-1

4. Утверждение: F∈PP0 => ∀x, y: F(x,y)=0

5. Теорема: PP = R[x,y]

***

И последнее замечание: про Q2 - мне понравилось.
Subscribe

  • Георгий Иванов

    Хорошо, что нет Царя. Хорошо, что нет России. Хорошо, что Бога нет. Только желтая заря, Только звезды ледяные. Только миллионы лет. Хорошо — что…

  • За нашу и вашу математику

    Летом после 8 класса, перед началом учёбы в математическом классе, я побывал в эстонском математическом лагере у Н.Н.Константинова, и там было…

  • Фенологические заметки

    Вот такой текст в дайжесте Иванова-Петрова. Он не один такой, такого добра там завались: Для дочеловеческих царств (минералы, растения, животные)…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • Георгий Иванов

    Хорошо, что нет Царя. Хорошо, что нет России. Хорошо, что Бога нет. Только желтая заря, Только звезды ледяные. Только миллионы лет. Хорошо — что…

  • За нашу и вашу математику

    Летом после 8 класса, перед началом учёбы в математическом классе, я побывал в эстонском математическом лагере у Н.Н.Константинова, и там было…

  • Фенологические заметки

    Вот такой текст в дайжесте Иванова-Петрова. Он не один такой, такого добра там завались: Для дочеловеческих царств (минералы, растения, животные)…